Produzioni in cui un metasimbolo può essere sostituito a prescindere dal contesto (gli altri elementi delle forme di frase non influiscono)

$$ A \rightarrow \alpha \space con $$$$ \alpha \in (VT\cup VN)*, A \in VN $$

Inoltre in queste produzioni è ammessa la stringa vuota

Self embedding

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Le grammatiche di tipo 2 ammettono produzioni della seguente forma

$$ A \Rightarrow \alpha_1A\alpha_2 $$

Questo permette alle grammatiche di tipo 2 di generare frasi con egual numero di simboli terminali a destra e sinistra (parentesi)

Conversione di grammatiche di tipo 2

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Le grammatiche di tipo 2 con produzioni che ammettono la stringa vuota possono essere convertite in grammatiche in cui non e presente il simbolo terminale, oppure e presente la forma $S \rightarrow \epsilon$, e $S$ non compare a destra di nessuna produzione

Alberi di derivazione

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Per le grammatiche di tipo 2 si introduce il concetto di albero di derivazione, dato l’insieme delle produzioni $P$ si ha che :

• la radice dell’albero e lo scopo della grammatica
• dato il nodo $S$ e i suoi figli $A_1....A_N$ significa che nella grammatica e presente una regola di produzione $S \rightarrow a_1 ... a_N$ dove $a_i$ sono i simboli associati ai nodi $A_i$

Questa struttura e possibile solo per le grammatiche di tipo 2, le grammatiche di tipo 1 e 0 ammettendo a sinistra più di un membro genererebbero un grafo e non un albero

Derivazioni canoniche

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Esistono derivazioni delle regole che formano alberi noti, la derivazione left-most che consente nell’espansione del membro non terminale più a sinistra e right-most che al contrario espande il membro più a destra

Ambiguità di una frase

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Una frase si dice ambigua quando ammette due derivazioni sinistre distinte

Forme normali

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Per i linguaggi generati da grammatiche di tipo 2 si possono evidenziare due forme comuni per le produzioni in cui:

• non sono presenti produzioni che fanno rename di metasimboli (e.g. $A \rightarrow B$)
• tutti i metasimboli e i simboli sono presenti nelle produzioni
• se la stringa vuota non fa parte del linguaggio non esistono produzioni che la includono

Forma normale di Chomsky

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le produzioni hanno tutte la forma $A \rightarrow BC|a$ $con \space A,B,C \in VN, \space e \space a\in VT \cup \epsilon$

Forma normale di Greibach (per linguaggi senza $\epsilon$)

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le produzioni hanno tutte la forma $A \rightarrow a\alpha$ $con \space A \in VN, \space e \space a\in VT \space e \space \alpha \in VN^*$

Il problema della ricorsione sinistra

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I linguaggi di tipo 2 possono presentare produzioni che consentono la ricorsione sinistra

$$ S \rightarrow S\alpha $$

La ricorsione sinistra rappresenta un problema per quanto riguarda la riconoscibilità del linguaggio, e sempre possibile trasformare la ricorsione sinistra in ricorsione destra.

Eliminazione della ricorsione sinistra

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• Data una grammatica come segue

$$ A\rightarrow B a $$$$ B\rightarrow C b $$$$ C\rightarrow A c | p $$

• si può applicare la sostituzione e ottenere

$$ C \rightarrow Cbac|p $$

• a questo punto si ha che qualunque sia la sequenza di derivazione le frasi prodotte inizieranno con il simbolo $p$, quindi si può dire:

$$ \displayblock{ C \rightarrow p|pZ \\ Z \rightarrow bac|bacZ } $$

Perché non eliminare sempre la ricorsione sinistra

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La ricorsione sinistra può essere sempre eliminata, tuttavia l’operazione comporta un esplicito cambiamento delle regole che generano il linguaggio, e di conseguenza della semantica delle frasi stesse