Trasformazioni di vista

Per poter renderizzare un oggetto 3D in uno schermo esprimerlo per mezzo delle sue coordinate non e sufficiente, e necessario poter trasformare le coordinate dell’oggetto in coordinate del piano immagine

Questo processo si chiama trasformazione di vista

Dal mondo all’osservatore

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Per poter passare al sistema di riferimento dell’osservatore e necessario identificare la matrice di cambiamento di base $VM$ (view matrix), composta come segue

$$ \begin{bmatrix} Xe\\ Ye \\ Ze \\1 \end{bmatrix} =VM \begin{bmatrix} X\\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} $$

Data la rappresentazione del vettore $Vu$ in coordinate polari $Vu=[D,\theta,\phi]$ si possono esprimere i vettori del sistema di riferimento dell’osservatore come segue

ℹ️ Note

il vettore $Vu$ e parallelo all’asse Z del sistema di riferimento del mondo ed e’ definito nel sistema di riferimento del mondo

$$ Ze = Vd/\Vert Vd \Vert = -(Vp -O)/\Vert Vp -O \Vert \\ $$

$$ Xe = \frac{Ze \times Vu}{\Vert Ze \times Vu\Vert} \\ $$

$$ Ye = -\frac{Ze \times Xe}{\Vert Ze \times Xe\Vert} \\ $$$$ VM =\begin{bmatrix} Xe_{1} &Xe_{2}&Xe_{3}& 0\\ Ye_{1} &Ye_{2}&Ye_{3}& 0\\ Ze_{1} &Ze_{2}&Ze_{3}& D\\ 0 &0&0 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Unendo la rappresentazione di $Vu$ in coordinate polari alla struttura della matrice $VM$:

$$ VM =\begin{bmatrix} -sin(\theta)&cos(\theta)&0& 0\\ -cos(\phi)cos(\theta)&-cos(\phi)sin(\theta)&sin(\phi)& 0\\ -sin(\phi)cos(\theta)&-sin(\phi)sin(\theta)&-cos(\phi)& D\\ 0 &0&0 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Parametri della matrice $vm$

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i 3 coefficienti $\theta,\phi,D$ controllano la posizione dell’osservatore, in particolare:

• variando $\theta$ e $\phi$ si può osservare l’oggetto da angolazioni differenti
• variando $D$ si può allontanare o avvicinare il punto di vista dell’osservatore

Dall’osservatore alla window

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Per poter portare l’immagine sulla window e necessario effettuare una proiezione geometrica, ne esistono di tante tipologie a seconda del punto di vista dell’osservatore

Proiezione a 3 punti di fuga

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La proiezione a 3 punti di fuga si ha quando l’osservatore non e allineato con nessun asse del sistema di riferimento del mondo (caso più generale)

In questo tipo di proiezione si ha che:

• $y_w=\frac{d\times Y_e}{Z_e}$
• $x_w=\frac{d\times X_e}{Z_e}$

Determinare le dimensioni della window

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Le dimensioni della window sono determinate dalla ampiezza del cono di visione che a sua volta e determinato dalla distanza $d$ tra l’osservatore e il piano di proiezione e la semi-ampiezza angolare $\alpha$ del cono di visione

Inoltre il piano di vista dell’osservatore viene limitato per mezzo di un front-plane e un back-plane

💡 Tip

ne consegue che per definire una matrice di proiezione sul piano di visione e necessario conoscere il formato della finestra,la posizione della camera l’angolo di visione e i piani di troncatura della camera

Struttura finale della pipeline di rendering

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