Le trasformazioni geometriche sono operazioni che prendono in input un oggetto e ne modificano posizione orientazione e dimensione (ovvero la geometria dello stesso)
ℹ️ Note
Ma cos’e’ un oggetto 3D?
Oggetto 3d #
Un oggetto 3D e un elemento di uno spazio cartesiano tridimensionale con sistema di riferimento destrorso descritto dalle coordinate dei suoi vertici
Trasformazioni bidimensionali #
Di seguito le trasformazioni bidimensionali di base
| TRASFORMAZIONE | DESCRIZIONE | OPERAZIONE MATRICIALE IN AMBIENTE 2D |
|---|---|---|
| TRASLAZIONE | modifica le coordinate dei vertici per far si che l’oggetto si trovi in una posizione diversa nel sistema di riferimento | $\begin{bmatrix} p_x^{'} \\ p_y^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ \end{bmatrix}$ |
| SCALA | varia le dimensioni dell’oggetto | $\begin{bmatrix} p_x^{'} \\ p_y^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0&s_y \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ \end{bmatrix}$ |
| ROTAZIONE | Rotazione rispetto all’origine degli assi | $\begin{bmatrix} p_x^{'} \\ p_y^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta)&cos(\theta) \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ \end{bmatrix}$ |
Trasformazione lineare #
Dall’algebra, una trasformazione lineare in uno spazio vettoriale a 3 dimensioni può essere descritta come segue
$$ \begin{bmatrix} u_x^{'} \\ u_y^{'} \\ u_z^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \\ \end{bmatrix} $$Trasformazione affine #
Una trasformazione affine e una trasformazione lineare seguita da una traslazione
$$ \begin{bmatrix} u_x^{'} \\ u_y^{'} \\ u_z^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \delta_x \\ \delta_y \\ \delta_z \\ \end{bmatrix} $$Spazio affine #
Per permettere la rappresentazione in uno spazio vettoriale dei punti si introduce lo spazio affine, con le seguenti operazioni aggiuntive:
- $q = p+v$ con $p$ punto e $v$ vettore
- $u = q - p$
- $v = p - q$
l’operazione punto + punto non e’ definita
Combinazione affine #
combinazione lineare che prende in input dei punti e restituisce in output dei punti in cui i coefficienti hanno somma $1$
$$ p = a_1p_1 +a_2p_2 +a_3p_3 + \space ... \space a_np_n \space con\\ $$$$ a_1 + a_2 +a_3 + \space ... \space a_n = 1 $$
ℹ️ Note
nel caso in cui $a_i \in [0-1) \forall \space i$ allora si parla di combinazione convessa
Sistema di riferimento in uno spazio affine (frame) #
per rappresentare in maniera non ambigua punti e vettori si definisce un sistema di riferimento (coordinate omogenee) dove viene eletta una quadrupla $
- $
- $\Theta$ e il punto di origine
si ha di conseguenza che i vettori sono rappresentati dalla tripletta delle coordinate $v = a_1v_1 +a_2v_2 +a_3v_3$, mentre un punto e rappresentato considerando anche il punto di origine $p = a_1v_1 +a_2v_2 +a_3v_3 + O$
Si ottiene di conseguenza uno spazio dove punti e vettori sono caratterizzati da quadruple (dove il 4 elemento ammette solo valori $0/1$), e possono essere rappresentati dal prodotto tra la quadrupla di origine e il vettore delle coordinate
$$ punto/vettore= \begin{bmatrix} v_{1,1} & v_{1,2} & v_{1,3} & 0 \\ v_{2,1} & v_{2,2} & v_{2,3} & 0 \\ v_{3,1} & v_{3,2} & v_{3,3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \\ 0/1 \\ \end{bmatrix} $$ℹ️ Note
in questa rappresentazione i vettori non mostrano nella 4 riga il valore $0$ in modo da annullare il punto originario
Trasformazioni affini in spazi affini #
Per mezzo della rappresentazione in coordinate omogenee le trasformazioni affini diventano tutte trasformazioni lineari
$$ \begin{bmatrix} u_x^{'} \\ u_y^{'} \\ u_z^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \delta_x \\ \delta_y \\ \delta_z \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} p_x^{'} \\ p_y^{'} \\ p_z^{'} \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} & d_x \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} & d_y \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} & d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$I vantaggi di poter utilizzare trasformazioni lineari sono molteplici, si può ottimizzare la computazione sfruttando le proprietà di linearità, inoltre le trasformazioni possono essere combinate in un unica matrice che può essere applicata in più punti
