Per poter applicare l’algoritmo z-buffer e necessario conoscere la profondità di un pixel all’interno del piano immagine una prima soluzione può essere:
Dati due punti $p_1,p_2$ di un segmento e le corrispettive proiezioni del piano immagine $p_{s1},p_{s2}$ si assegna come coordinata $z$ a un punto $p_s$ del segmento compreso tra $p_{s1},p_{s2}$ la coordinata $z$ del punto $p$ corrispondente al punto $p_s$
ℹ️ Note
e la cosa più intuitiva da fare
Tuttavia questo sistema funziona solo se la proiezione effettuata e parallela e non prospettica
Error
il cono di visione nel caso della proiezione prospettica non mantiene i rapporti fra le distanze
Trasformare il piano dell’osservatore #
Visto che il problema risiede nella struttura dello spazio 3D dell’osservatore l’idea e quella di creare una trasformazione in grado di deformare il tronco di piramide dell’osservatore in un cubo dove poter applicare una proiezione parallela. La trasformazione deve avere le seguenti proprietà:
- deve mantenere l’ordine di profondità
- trasformare linee in linee
- trasformare piani in piani
La trasformazione di cui sopra presenta tutte le proprietà richieste, quindi dato per esempio un cono di visione di $90^{\bullet}$ (che può essere ottenuto mediante una trasformazione di scala da un cono di visione qualunque)
si ha che le linee della forma $y=mz$ vengono ruotate rispetto al punto $y=m$ mantenendo l’allineamento tra i punti
Scelta dei parametri $\alpha,\beta$ #
I parametri $\alpha,\beta$ possono essere scelti accuratamente per far si di ottenere un intervallo comodo per i valori di $z_s$, per’esempio dato un intervallo della coordinata z di $[A,B]$ si ha che i valori di alpha e beta corrispondenti sono
$$ \begin{cases} \beta = -\frac{2AB}{B-A} \\ \alpha = \frac{A + B}{B-A} \\ \end{cases} $$ℹ️ Note
ci si arriva impostando il sistema in maniera tale che i punti $A,B$ trasformati valgano $-1,1$
Si ottiene il seguente spazio
