In computer graphics gli oggetti 3D vengono approssimati da una rappresentazione della loro superficie detta B-Rep (Boundary representation) La superficie si assume sia una varietà due-dimensionale(two-manifold) (l’intorno di ogni punto della superficie è omeomorfo ad un disco piano)
Data questa rappresentazione di un oggetto 3D una Mesh 3D e una approssimazione per mezzo di poligoni (in genere triangoli per semplificazione implementativa)
Mesh two-manifold: vincoli #
Per far si che anche la mesh che approssima la superficie sia two-manifold un lato non può essere condiviso da 3 o più facce, e $n$ facce che condividono un vertice devono formare un ventaglio
Normale ad una faccia #
La normale di una faccia e definita come il prodotto vettoriale fra due lati consecutivi e non collineari
$$ n= (V_3 - V_2)\times(V_2 - V_1) $$
❗ Warning
la normale e uscente dal front della faccia, occhio al verso
Mesh orientabile #
Se la normale di tutti i poligoni di una mesh e rivolta verso la stessa direzione (esterno/interno di una mesh) allora si dice che la mesh e orientabile
❗ Warning
Le facce di una mesh devono essere descritte in maniera coerente
Coerenza delle facce #
L’orientazione di due facce adiacenti è coerente se i due vertici del loro lato in comune sono in ordine inverso. Vuol dire che l’orientazione non cambia attraversando il lato in comune.
Mesh chiusa vs mesh aperta #
Una mesh aperta si contraddistingue da una mesh chiusa perché presenta lati vertici e facce di bordo
Topologia e geometria di una mesh #
Una mesh poligonale e’ caratterizzata da una geometria e da una topologia:
| GEOMETRIA | TOPOLOGIA |
|---|---|
| come sono disposti i vertici nello spazio |
come i vertici sono connessi da lati e facce |
❗ Warning
due mesh possono condividere la stessa geometria ma descrivere due modelli diversi per mezzo della loro topologia!
Mesh storing #
Le informazioni per comporre una mesh vengono salvate in maniera indicizzata
ℹ️ Note
per il salvataggio delle mesh 3D uno dei formati possibili e il formato OBJ commercializzato dalla Alias-Wavefront
Editing di mesh 3d #
L’editing di una mesh 3D e quel processo attraverso il quale si applicano modifiche a una mesh 3D aggiungendo rimuovendo facce,vertici e poligoni
Le operazioni di editing che non alterano la topologia della mesh vengono detti operatori di Eulero alcuni esempi di tali operazioni sono:
- aggiunta/rimozione di un vertice
- aggiunta/rimozione di una faccia aggiungendo o eliminando un lato
Rappresentazione comoda per l’editing: adiacenze #
In fase di editing la rappresentazione per mezzo di facce e vertici non e ottimale in quanto ci si ritrova spesso a accedere a vertici e facce adiacenti ad altre, risulta comoda una struttura dati che tenga conto delle adiacenze
struttura dati per la rappresentazione di lati
| name | start | end | left | right | pred | succ | pred | succ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $a$ | $X$ | $Y$ | 1 | 2 | $b$ | $d$ | $e$ | $c$ |
